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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
9.
Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
e) $\int x^{2} \arctan (3 x) d x$
e) $\int x^{2} \arctan (3 x) d x$
Respuesta
Esta es un poquito más difícil que las que venimos haciendo, pero va a salir, mirá:
Reportar problema
¿Esto en principio tiene pinta de aplicar partes, no?
$ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $
Acordate que nosotrxs sabemos derivar $\arctan(x)$, así que vamos a elegir a esta como $g$, y al polinomio lo integramos:
$ f' = x^{2} \Rightarrow f = \frac{x^{3}}{3} $
$ g = \arctan(3x) \Rightarrow g' = \frac{3}{1+(3x)^{2}} = \frac{3}{1+9x^{2}} $
Aclaración: Para esta última derivada acordate que la derivada de tabla es
$(\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}$
y aplicás regla de la cadena para resolver la nuestra.
Ahora si, aplicamos partes:
$ \int x^{2} \arctan(3x) dx = \left(\frac{x^{3}}{3}\right) \arctan(3x) - \int \left(\frac{x^{3}}{3}\right) \left(\frac{3}{1+9x^{2}}\right) dx $
Simplificamos:
$ \int x^{2} \arctan(3x) dx = \frac{x^{3}}{3} \arctan(3x) - \int \frac{x^{3}}{1+9x^{2}} dx $
Y acá para mi aparece otro obstáculo en este problema, que es justamente cómo resolvemos esta integral. Vamos a verla despacito: Si tomamos la sustitución:
$u = 1 + 9x^{2}$
$du = 18 \, x \, dx \Rightarrow \frac{du}{18} = x \, dx$
Entonces, tratemos de escribir nuestra integral en términos de $u$
$\int \frac{x^{3}}{1+9x^{2}} dx = \int \frac{x^{2} \cdot x}{1+9x^{2}} dx = \int \frac{x^2}{u} \, \frac{du}{18} $
¿Y qué hacemos con ese $x^2$? Fijate que tenemos esta relación entre $x$ y $u$
$u = 1 + 9x^{2}$
Si despejamos de acá $x^2$ nos queda
$x^2 = \frac{u-1}{9}$
Reemplazamos:
$\int \frac{x^2}{u} \, \frac{du}{18} = \frac{1}{18}\int \frac{\frac{u-1}{9}}{u} \, du = \frac{1}{18}\int \frac{u-1}{9u} = \frac{1}{162} \int \frac{u-1}{u} du $
Ahora distribuimos ese denominador y nos quedan dos integrales que sabemos resolver :)
$ \frac{1}{162} \int \frac{u-1}{u} du = \frac{1}{162} \int \left(1 - \frac{1}{u}\right) du = \frac{1}{162} \left(u - \ln|u|\right) $
Regresamos a la variable original $x$:
$ \frac{1}{162} \left(u - \ln|u|\right) = \frac{1}{162} \left(1 + 9x^{2} - \ln|1 + 9x^{2}|\right) $
Y listooo, volvemos entonces a nuestra integral que estábamos haciendo por partes y reemplazamos este resultado:
$ \int x^{2} \arctan(3x) dx = \frac{x^{3}}{3} \arctan(3x) - \int \frac{x^{3}}{1+9x^{2}} dx $
$ \int x^{2} \arctan(3x) dx = \frac{x^{3}}{3} \arctan(3x) - \frac{1}{162} \left(1 + 9x^{2} - \ln(1 + 9x^{2})\right) + C $